Определения что такое функция. Математические функции
В Excel есть функция нахождения случайных чисел =СЛЧИС(). Возможность же найти случайное число в Excel, важная составляющая планирования или анализа, т.к. вы можете спрогнозировать результаты вашей модели на большом количестве данных или просто найти одно рандомное число для проверки своей формулы или опыта.
Продолжаем серию статей о математических формулах в Excel. Сегодня разберем формулу записи «модуль в Excel». Модуль числа применяется для определения абсолютной величины числа, например длины отрезка. Ниже мы приводим несколько способов расчета модуля числа в Эксель, основная функция — ABS, а дополнительный расчет при помощи функций ЕСЛИ и КОРЕНЬ.
Мы немного затронули тему экспоненты в статье про округление больших чисел. В этой же статье мы обсудим, что же такое экспонента в Excel и, самое главное, для чего она может пригодиться в обычной жизни или в бизнесе.
Вам нужно присвоить каждому числу в Excel свой номер, чтобы можно было их отсортировать по этому номеру? Можно придумать сложные конструкции для текстовых данных, но для числовых данных есть специальная функция РАНГ в Excel. Относится к числу статических функций и бывает довольно полезной. В статье мы так же рассказываем о новых функциях из Excel 2010 РАНГ.CP() […]
Продолжаем обзор математических функций и возможность. Сегодня на очереди формула из простейших — степень в Excel. Возведение в степень (корень) функцией или простым обозначениями, отрицательная степень. Как красиво записать степень, тоже будет здесь. Все в принципе просто, но это не значит, что об этом не нужно написать статейку. Тем более одной большой статьи, охватывающей все […]
Понял, что на нашем сайте очень мало описаний математических функций. Хотя в Excel их превеликое множество. Есть описание НДС, всяких там печатных документов и форм. А вот описания основы основ табличного редактора — математических функций, почти нет. «Надо бы заняться этим пробелом» — подумал я. Вот занимаюсь. Первым очереди факториал. Почему? Просто на днях, делал […]
Определение
Функцией
y = f(x)
называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x
множества X
ставится в соответствие один и только один элемент y
множества Y
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы во множестве X
,
называется множеством значений функции
(или областью значений
).
Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Само отображение f называется характеристикой функции .
Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .
Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .
Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .
Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.
Графиком функции f называется множество пар .
Сложные функции
Определение
Пусть заданы функции и .
Причем область определения функции f
содержит множество значений функции g
.
Тогда каждому элементу t
из области определения функции g
соответствует элемент x
,
а этому x
соответствует y
.
Такое соответствие называют сложной функцией
: .
Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .
В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.
Действительные функции
Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора .
Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов .
Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.
В математическом анализе большую роль играют числовые функции.
Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.
Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.
Максимум и минимум
Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Максимумом M
(минимумом m
)
функции f
,
на некотором множестве X
называют значение функции при некотором значении ее аргумента ,
при котором для всех ,
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Верхней гранью неограниченной сверху функции
Нижней гранью
или точной нижней границей
действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .
Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.
В качестве примера рассмотрим функцию ,
заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1
и снизу - значением 0
:
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.
Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке ,
то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.
Монотонные функции
Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X
.
Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей)
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Определение монотонной функции
Функция называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая.
Многозначные функции
Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.
Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.
В качестве примера рассмотрим функцию арксинус
: .
Она является обратной к функции синус
и определяется из уравнения:
(1)
.
При заданном значении независимой переменной x
,
принадлежащему интервалу ,
этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y
(см. рисунок).
Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)
.
При таком условии, заданному значению ,
соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.
Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)
,
где n
- целое. В результате, для каждого значения n
,
мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией
. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией
.
Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.
Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.
Однозначная функция - это функция.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Язык программирования Си для персонального компьютера Бочков C. О.
Математические функции
Математические функции
Функция | Краткое описание |
abs | нахождение абсолютного значения выражения типа int |
acos | вычисление арккосинуса |
asin | вычисление арксинуса |
atan | вычисление арктангенса х |
atan2 | вычисление арктангенса от у/х |
cabs | нахождение абсолютного значения комплексного числа |
ceil | нахождение наименьшего целого, большего или равного х |
_clear87 | получение значения и инициализация слова состояния сопроцессора и библиотеки арифметики с плавающей точкой |
_control87 | получение старого значения слова состояния для функций арифметики с плавающей точкой и установка нового состояния |
cos | вычисление косинуса |
cosh | вычисление гиперболического косинуса |
exp | вычисление экспоненты |
fabs | нахождение абсолютного значения типа double |
floor | нахождение наибольшего целого, меньшего или равного х |
fmod | нахождение остатка от деления х/у |
_fpreset | повторная инициализация пакета плавающей арифметики |
frexp | разложение х как произведения мантиссы на экспоненту 2 n |
hypot | вычисление гипотенузы |
labs | нахождение абсолютного значения типа long |
ldexp | вычисление х*2 exp |
log | вычисление натурального логарифма |
log10 | вычисление логарифма по основанию 10 |
matherr | управление реакцией на ошибки при выполнении функций математической библиотеки |
modf | разложение х на дробную и целую часть |
pow | вычисление х в степени у |
sin | вычисление синуса |
sinh | вычисление гиперболического синуса |
sqrt | нахождение квадратного корня |
_status87 | получение значения слова состояния с плавающей точкой |
tan | вычисление тангенса |
tanh | вычисление гиперболического тангенса |
Система программирования MSC предоставляет дополнительно функции:
Система программирования ТС предоставляет дополнительно функции:
Прототипы функций содержатся в файле math.h , за исключением прототипов функций _clear87 , _control87 , _fpreset , status87 , которые определены в файле float.h . Функция matherr (ее пользователь может задать сам в своей программе) вызывается любой библиотечной математической функцией при возникновении ошибки. Эта программа определена в библиотеке, но может быть переопределена пользователем, если она необходима, для установки различных процедур обработки ошибок.
Из книги Самоучитель UML автора Леоненков Александр2.1. Предыстория. Математические основы Представление различных понятий окружающего нас мира при помощи графической символики уходит своими истоками в глубокую древность. В качестве примеров можно привести условные обозначения знаков Зодиака, магические символы
Из книги Давайте создадим компилятор! автора Креншоу Джек Из книги Журнал «Компьютерра» № 9 от 06 марта 2007 года автора Журнал «Компьютерра»Математические формулы для женщин Авторы: Скамейкин, Алексей, Яблоков, Сергей Две тысячи лет мужчины провели впустую. Вместо того чтобы написать формулу красоты и здоровья или хотя бы соорудить внятное определение красоты, они ходили вокруг да около, не в силах
Из книги Excel. Мультимедийный курс автора Мединов ОлегМатематические функции Создайте чистую таблицу. Эту таблицу мы будем использовать для примеров использования функций.Наиболее часто используемая функция в математических расчетах – это КОРЕНЬ.1. Выделите ячейку R2C2. В эту ячейку мы будем вставлять функцию.2. Нажмите
Из книги Windows Script Host для Windows 2000/XP автора Попов Андрей ВладимировичМатематические функции Имеющиеся в VBScript функции, предназначенные для математических вычислений, описаны в табл. П2.14.Таблица П2.14. Математические функции Функция Описание Abs(x) Возвращает абсолютное значение числа х Atn(x) Возвращает арктангенс числа х Cos(x) Возвращает
Из книги MySQL: руководство профессионала автора Паутов Алексей В4.5.3. Функции, которые создают новые конфигурации из существующих 4.5.3.1. Функции геометрии, которые производят новые конфигурации Раздел "4.5.2. Функции Geometry" обсуждает несколько функций, которые создают новые конфигурации из
Из книги Программирование на языке Ruby [Идеология языка, теория и практика применения] автора Фултон Хэл8.1.9. Массивы как математические множества В большинстве языков множества напрямую не реализованы (Pascal составляет исключение). Но массивы в Ruby обладают некоторыми свойствами, которые позволяют использовать их как множества. В данном разделе мы рассмотрим эти свойства и
Из книги Справочник по PHP автораМатематические функции Функции округления absВозвращает модуль числа.Синтаксис:mixed abs(mixed $number)Тип параметра $number может быть float или int, а ти п возвращаемого значения всегда совпадает с типом этого параметра.$x = abs(-4); // $x=4$x = abs(-7.45); // $x=7.45roundОкругление дробного числа до
Из книги Курс "Язык программирования PHP" автора Савельева Нина Владимировна Из книги Язык программирования Си для персонального компьютера автора Бочков C. О.Математические функции Функция Краткое описание abs нахождение абсолютного значения выражения типа int acos вычисление арккосинуса asin вычисление арксинуса atan вычисление арктангенса х atan2 вычисление арктангенса от у/х cabs нахождение абсолютного значения
Из книги Как спроектировать современный сайт автора Вин ЧоиМатематические формулы Кирпичи просто создавать, использовать, они понятны и просты, но на протяжении столетий возникло и сформировалось более тонкое понимание систем упорядочения. Эти открытия и нововведения развивали наше понимание сеток. Обращаясь к математике,
Из книги Видеосамоучитель создания реферата, курсовой, диплома на компьютере автора Баловсяк Надежда Васильевна4.1. Математические формулы В текстовом редакторе Word существует специальный инструмент для работы с формулами – редактор формул. С его помощью можно создавать сложные объекты, выбирая символы с панели инструментов и задавая переменные и числа. При этом размер шрифтов,
Из книги Firebird РУКОВОДСТВО РАЗРАБОТЧИКА БАЗ ДАННЫХ автора Борри Хелен Из книги C++ для начинающих автора Липпман Стенли Из книги Конец холивара. Pascal vs C автора Кривцов М. А.Стандартные математические функции ABS (X) – абсолютная величина X.ARCTAN (X) – вычисление угла в радианах, тангенс которого равен X.COS (X) – вычисление косинуса угла в радианах.EXP (X) – Вычисление ex.LN (X) – вычисление натурального логарифма от X.PI – вычисление числа Пи.RANDOM –
Из книги автораСтандартные математические функции
Для того, чтобы использовать эти функции в начале программы должно стоять:#include
В C++ определены следующие арифметические операторы.
Cложение;
– вычитание;
* умножение
/ деление
% деление по модулю
– – декремент (уменьшение на 1)
Инкремент (увеличение на 1).
Действие операторов +, –, * и / совпадает с действием аналогичных операторов в алгебре. Их можно применять к данным любого встроенного числового типа.
После применения оператора деления (/) к целому числу остаток будет отброшен. Например, результат целочисленного деления 10/3 будет равен 3. Остаток от деления можно получить с помощью оператора деления по модулю (%). Например, 10%3 равно 1. Это означает, что в С++ оператор % нельзя применять к нецелочисленным типам данных.
Операторы инкремента (++) и декремента (– –) обладают очень интересными свойствами. Поэтому им следует уделить особое внимание.
Оператор инкремента выполняет сложение операнда с числом 1, а оператор декремента вычитает 1 из своего операнда. Это значит, что инструкция:
аналогична такой инструкции:
А инструкция:
аналогична такой инструкции:
Операторы инкремента и декремента могут стоять как перед своим операндом (префиксная форма), так и после него (постфиксная форма). Например, инструкцию
можно переписать в виде префиксной
Х;//префиксная форма оператора инкремента
или постфиксной формы:
х++;//постфиксная форма оператора инкремента
В предыдущем примере не имело значения, в какой форме был применен оператор инкремента: префиксной или постфиксной. Но если оператор инкремента или декремента используется как часть большего выражения, то форма его применения очень важна. Если такой оператор применен в префиксной форме, то C++ сначала выполнит эту операцию, чтобы операнд получил новое значение, которое затем будет использовано остальной частью выражения. Если же оператор применен в постфиксной форме, то С++ использует в выражении его старое значение, а затем выполнит операцию, в результате которой операнд обретет новое значение.
Математические функции
В языке С++ имеются специальные функции для расчета алгебраических выражений. Все такие функции находятся в отдельном заголовочном файле math.h. Поэтому для использования функций в коде программы необходимо подключить данный файл с помощью директивы
#include
Приведем основные алгебраические функции С++.
abs(x) - модуль целого числа;
labs(x) - модуль «длинного» целого;
fabs(x) - модуль числа с плавающей точкой;
sqrt(x) - извлечение квадратного корня;
pow(x,y) - возведение x в степень y;
cos(x) - косинус;
sin(x) - синус;
tan(x) - тангенс;
acos(x) - арккосинус;
asin(x) - арксинус;
atan(x) - арктангенс;
exp(x) - експонента в степени x;
log(x) - натуральный логарифм;
log10(x) - десятичный логарифм
При возведении числа в дробную степень, знаменатель дробной степени нужно записывать в вещественном виде. Например: квадратный корень из а записывается так: pow(a,1/2.0 )
Продемонстрируем использование функций на примерах.
5. Операторы ввода/вывода на языке С++
Для вывода сообщения на экран используется следующий оператор C++:
cout<<”текст”;
#include
Информация, заключенная в двойные кавычки, является сообщением, которое должно быть выведено на экран. В языке C++ любая последовательность символов, заключенная в двойные кавычки, называется строкой потому, что она состоит из нескольких символов, соединяемых вместе в более крупный блок (элемент).
Строка в операторе COUT может содержать так называемые подстановочные символы - символы, которых нет на клавиатуре или они заняты под ключевые символы в тексте программы. Перед каждым таким подстановочным символов ставится символ «\».
Приведем перечень таких символов:
\a – звуковой сигнал
\n – переход на новую строку
\t – горизонтальная табуляция
\v – вертикальная табуляция
\\ - обратный слеш
\’ – одинарная кавычка
\” – двойная кавычка
\? – знак вопроса.
Например, оператор вида:
cout>>“пример\nтекста”;
Слово «пример» выведет на одной строке, а слово «текста» на другой.
Оператор вида:
cout>>“магазин\»”чайка\””;
Слово «Чайка» отобразит в двойных кавычках.
Кроме текса оператор может выводить на экран значения переменных, комбинируя их с текстом.